Explicamos o que é geometria, sua história e seu objeto de estudo. Além disso, as características de cada tipo de geometria.
O que é geometria?
Geometria (do grego geo, "Land" e metro, "Medição") é um dos ramos mais antigos do matemática, dedicado ao estudo da forma de objetos individuais, a relação espacial entre eles e as propriedades do espaço que os rodeia.
Embora no seu início esta disciplina obedecesse, como o próprio nome indica, à medição em seu sentido mais prático, ao longo do tempo, o humanidade ele entendeu que mesmo as abstrações e representações mais complexas podem ser expressas em termos geométricos.
Foi assim que surgiram seus numerosos ramos, da mão da análise matemática e outras formas de cálculo, especialmente aquelas que ligam a representação geométrica com expressões matemáticas numéricas e algébricas.
A geometria é um ramo fundamental da matemática, no qual várias disciplinas são baseadas (como o desenho técnico ou próprio arquitetura) e serve como um complemento para muitos outros (como físico, a mecânica, o astronomia, etc.). Além disso, deu origem a inúmeros artefatos, desde a bússola e o pantógrafo, até o sistema de posicionamento global (GPS).
História da geometria
A geometria tem suas origens praticamente nas primeiras civilizações humanas. Os antigos babilônios foram os inventores da roda e, portanto, da geometria dos círculos. Por esse motivo, eles foram provavelmente os primeiros a reconhecer o potencial infinito do estudo geométrico, que logo aplicaram à astronomia.
Os antigos egípcios faziam o mesmo, que o cultivavam o suficiente para aplicá-lo em suas majestosas obras arquitetônicas, já que naquela época a geometria e a aritmética eram Ciências eminentemente prático.
Muitos historiadores gregos, como Heródoto (c. 484-c. 425 aC), Diodoro (c. 90 aC - c. 30 aC) e Estrabão (c. 63 aC - c 24 dC) reconheceram a importância do legado geométrico egípcio , e foram considerados os criadores da disciplina. No entanto, foram os gregos antigos que deram à geometria seu aspecto formal, graças ao seu modelo filosófico avançado.
De particular importância foi o matemático e geometrista Euclides (c. 325 - c. 265 aC), reconhecido como o "pai da geometria", que propôs o primeiro sistema geométrico de verificação de resultados, através de sua célebre obra Os elementos, composta por volta do ano 300 a. C. em Alexandria. Lá as diferenças entre os planos são enunciadas pela primeira vez (bidimensional) e ele espaço (tridimensional).
Outras contribuições importantes para a geometria da época foram as de Arquimedes (c. 287 - c. 212 aC) e Apolônio de Perge (c. 262 - c. 190 aC). No entanto, nos séculos subsequentes, o desenvolvimento da matemática mudou-se para o Oriente (Índia, especificamente, e o mundo muçulmano), onde a geometria foi desenvolvida junto com álgebra e a trigonometria, ligando-os com o astrologia e astronomia.
Assim, o interesse pela disciplina voltou ao Ocidente apenas na Renascimento Europeia, na qual muitos novos nomes foram acrescentados ao seu estudo, dando origem à geometria projetiva e principalmente à geometria cartesiana ou geometria analítica, fruto da obra do filósofo francês René Descartes (1596-1650), portador de um novo método de pesquisa geométrica que revolucionou e modernizou este campo do conhecimento.
A partir de então, a geometria moderna passou a ser realizada, pela mão de grandes estudiosos como o alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o russo Nikolái Lobachevski (1792-1856), o húngaro János Bolyai (1802-1860), entre muitos outros, que conseguiram se afastar dos axiomas clássicos de Euclides e encontraram um novo campo de disciplina: a geometria não euclidiana.
Objeto de estudo da geometria
A geometria opera tanto no bidimensional quanto no tridimensional.A geometria lida com as propriedades do espaço e, em particular, com as formas e figuras que o habitam, sejam bidimensionais (plano) ou tridimensionais (espaço), como pontos, linhas, planos, polígonos, poliedro, e assim por diante. Esses tipos de objetos são entendidos em termos de idealizações, isto é, de projeções mentais do espaço, a fim de transferir (ou não) suas conclusões para o mundo do concreto.
Tipos de geometria
A geometria tem muitos ramos diferentes e sua classificação geralmente responde à relação que estabelece com os cinco postulados básicos de Euclides, dos quais apenas quatro foram amplamente demonstrados desde a antiguidade. O quinto, por outro lado, teve que ser modificado para dar origem a diferentes famílias de geometrias.
Portanto, devemos distinguir entre:
Geometria absoluta, aquela que é governada pelos primeiros quatro postulados de Euclides.
Geometria euclidiana, que também aceita o quinto postulado euclidiano como axioma, por sua vez dando origem a duas variantes: a geometria do plano (bidimensional) e a geometria do espaço (tridimensional), segundo a antiga classificação grega .
Geometria clássica, em que os resultados das geometrias euclidianas são compilados.
A geometria não euclidiana, surgida no século XIX, é aquela que reúne os diferentes sistemas geométricos que estão longe do quinto postulado de Euclides, aceitando, porém, os quatro primeiros ou alguns deles. Entre eles estão:
- Geometria elíptica ou Riemanniana, que obedece aos quatro primeiros postulados de Euclides e apresenta um modelo de curvatura constante e positiva.
- Geometria hiperbólica ou lobachevskiana, que obedece apenas aos quatro primeiros postulados de Euclides e apresenta um modelo de curvatura constante e negativa.
- A geometria esférica, entendida como a geometria da superfície bidimensional de uma esfera (em vez de um plano reto), é um modelo mais simples de geometria elíptica.
- Geometria finita, cujo sistema obedece a um número limitado de pontos (ao contrário da geometria infinita de Euclides), e cujos modelos se aplicam apenas a um plano finito. Existem dois tipos de geometrias finitas: afins e projetivas.