Explicamos o que é um teorema, sua função e quais são suas partes. Além disso, os teoremas de Pitágoras, Tales, Bayes e outros.
O que é um teorema?
Um teorema é um proposição que, com base em certas suposições ou hipótese, pode afirmar de forma testável uma tese não auto-evidente (porque nesse caso seria uma axioma). São muito comuns dentro linguagens formais, como o matemática aceno lógica, uma vez que constituem a enunciação de certas regras formais ou regras de “jogo”.
Os teoremas não apenas propõem relações estáveis entre o instalações e a conclusão, mas também fornecem as chaves fundamentais para provar isso. A prova de teoremas é, de fato, uma parte fundamental da lógica matemática, pois outros podem ser derivados de um teorema e, assim, ampliar o conhecimento do sistema formal.
No entanto, no campo dos estudos matemáticos, o termo "teorema" é utilizado apenas para proposições de interesse particular para a comunidade acadêmica. Em contraste, na lógica de primeira ordem, qualquer afirmação demonstrável é em si um teorema.
A palavra “teorema” vem do grego teorema, derivado do verbo teoria, que significa "contemplar", "julgar" ou "refletir", de onde também vem a palavra "teoria".
Para os antigos gregos, um teorema era o resultado de uma cuidadosa e cuidadosa observação e reflexão, e era um termo usado com muita frequência por muitos filósofos e matemáticos da época.Daí vem também a distinção acadêmica entre os termos "teorema" e "problema": o primeiro é teórico e o segundo é prático.
Todo teorema tem três partes:
- Hipótese qualquer instalações. É o conteúdo lógico do qual a conclusão pode ser deduzida e, portanto, a precede.
- Tese ou conclusão. É o que está afirmado no teorema e que pode ser demonstrado formalmente a partir do que é proposto pelas premissas.
- Corolários. São aquelas deduções ou formulações secundárias e adicionais que se obtêm do teorema.
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é um dos mais antigos teoremas matemáticos conhecidos pela humanidade. É atribuído ao filósofo grego Pitágoras de Samos (c. 569 – c. 475 aC), embora se acredite que o teorema seja muito mais antigo, possivelmente de origem babilônica, e que Pitágoras foi o primeiro a prová-lo.
Este teorema propõe que, dada uma triângulo retângulo (ou seja, tendo pelo menos um ângulo reto), o quadrado do comprimento do lado do triângulo oposto ao ângulo reto (a hipotenusa) será sempre igual à soma do quadrado do comprimento dos outros dois lados (chamado pernas). Isto é afirmado da seguinte forma:
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa será igual à soma dos quadrados dos catetos.
E com a seguinte fórmula:
uma2 + b2 = c2
Onde uma S b igual ao comprimento das pernas e c ao comprimento da hipotenusa. A partir daí, também podem ser deduzidos três corolários, ou seja, fórmulas derivadas que possuem aplicação prática e verificação algébrica:
uma = √c2 - b2
b = √c2 – a2
c = √a2 + b2
O teorema de Pitágoras foi comprovado inúmeras vezes ao longo da história: pelo próprio Pitágoras e por outros geômetras e matemáticos como Euclides, Pappus, Bhaskara, Leonardo da Vinci, Garfield, entre outros.
Teorema de Tales
Atribuído ao matemático grego Tales de Mileto (c. 624 – c. 546 aC), este teorema de duas partes (ou esses dois teoremas com o mesmo nome) trata do geometria dos triângulos, como segue:
- O primeiro teorema de Tales propõe que, se um dos lados de um triângulo for continuado por uma linha paralela, será obtido um triângulo maior, mas com as mesmas proporções. Isso pode ser expresso da seguinte forma:
Dados dois triângulos proporcionais, um grande e um pequeno, a razão de dois dos lados do triângulo grande (A e B) será sempre igual à razão dos mesmos lados do pequeno (C e D).
A/B = C/D
Este teorema serviu, segundo o historiador grego Heródoto, Tales para medir o tamanho da pirâmide de Quéops no Egito, sem ter que usar instrumentos de tamanho imenso.
- O segundo teorema de Thales propõe que dada uma circunferência cujo diâmetro é AC e centro "O" (diferente de A e C), um triângulo retângulo ABC pode ser formado tal que
Dois corolários decorrem disso:
- Em qualquer triângulo retângulo, o comprimento da mediana correspondente à hipotenusa é sempre metade da hipotenusa.
- A circunferência circunscrita de qualquer triângulo retângulo sempre tem um raio igual à metade da hipotenusa e seu circuncentro estará localizado no ponto médio da hipotenusa.
Teorema de Bayes
O teorema de Bayes foi proposto pelo matemático inglês Thomas Bayes (1702-1761) e publicado após sua morte em 1763. Este teorema expressa a probabilidade de ocorrência de um evento "A dado B" e sua relação com a probabilidade de um evento "B dado A" ”. Este teorema é muito importante na teoria da probabilidade, e é formulado da seguinte forma:
Isso significa que é possível calcular a probabilidade de um evento (A) se soubermos que ele atende a uma determinada condição necessária para sua ocorrência, inversamente ao teorema da probabilidade total.
Outros teoremas conhecidos
Outros teoremas famosos são:
- Teorema de Ptolomeu. Sustenta que em todo quadrilátero cíclico, a soma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto de suas diagonais.
- O teorema de Euler-Fermat. Ele sustenta que sim uma S n são inteiros primos parentes, então n divide para aᵩ(n)-1.
- Teorema de Lagrange. Ele sustenta que sim F é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe um ponto c em (a, b) tal que uma linha tangente nesse ponto é paralela à linha secante através dos pontos (a, F(a) e (b, F(b)).
- teorema de Thomas. Ele argumenta que se as pessoas estabelecem uma situação como real, essa situação se torna real em suas consequências.